Το Εμβαδό Του Κύκλου Και Η Σταθερά ΖΕΝ

Το Εμβαδό Του Κύκλου Και Η Σταθερά ΖΕΝ

Στην αρχή φαντάστηκα το εμβαδό του κύκλου ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του όγκου ενός κυλινδρικού δοχείου, το οποίο έχει βάθος ένα εκατοστό, με τον αριθμό ένα. Στην ουσία ο όγκος σε κυβικά εκατοστά ενός δοχείου  βάθους ενός εκατοστού ισούται με το εμβαδό του πάτου του δοχείου.

Ύστερα φαντάστηκα το περιεχόμενο του κυλινδρικού δοχείου να γίνεται τετράγωνο και σκέφτηκα ότι η διάμετρος του πάτου του κυλινδρικού δοχείου είναι μεγαλύτερη από τη πλευρά του πάτου του τετράγωνου δοχείου.

Θέλησα λοιπόν να βρω την σχέση μεταξύ της διαμέτρου του κύκλου και της πλευράς του τετράγωνου. Βρήκα λοιπόν μια σταθερά η οποία ισχύει σε κάθε κύκλο. Η σχέση είναι η εξής. Εάν διαιρέσουμε τη διάμετρο του κύκλου με την πλευρά του τετράγωνου θα βρούμε σε κάθε κύκλο τον ίδιο αριθμό. Το ονομάζω σταθερά ΖΕΝ και ισούται με 1,12864 κατά προσέγγιση.

Ο τύπος τώρα για να βγει το εμβαδό του κύκλου είναι εύκολος,. μετρώντας ή γνωρίζοντας τη διάμετρό του. Βρίσκουμε την πλευρά του τετραγώνου που έχει το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο και αυτό το υψώνουμε στο τετράγωνο.

Ο τρόπος δε που προκύπτει η πλευρά του τετραγώνου από την διάμετρο είναι ο εξής. Πλευρά τετραγώνου ισούται με τη διαίρεση της διαμέτρου του κύκλου με την σταθερά ΖΕΝ. Υψώνουμε το αποτέλεσμα στο τετράγωνο και έχουμε το εμβαδό του κύκλου.

ZEN =  1,12864 κατά προσέγγιση

( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ / ΖΕΝ ) ^ 2 = ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΟΥ

ΠΛΕΥΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ = ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ / ΖΕΝ

ΠΛΕΥΡΑ = Δ x (1 / ΖΕΝ) = Δ x (1 / 1,12864) = Δ x 0,886

Εναλλακτικά...

Ζ = 1 / ΖΕΝ = 0,886 κατά προσέγγιση

( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ x Ζ ) ^ 2 = ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΟΥ

( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Α / ΖΕΝ ) x ( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Β / ΖΕΝ ) = ΕΜΒΑΔΟ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

Εναλλακτικά...

( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Α x Ζ ) x ( ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Β x Ζ ) = ΕΜΒΑΔΟ ΕΛΛΕΙΨΗΣ
ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Α x ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Β x Ζ x Ζ = ΕΜΒΑΔΟ ΕΛΛΕΙΨΗΣ  <<Z x Z = 0,785>>
ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Α x ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Β x 0,785 = ΕΜΒΑΔΟ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

Όπου ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ Α η μέγιστη διάμετρος της έλλειψης και η οποία τέμνει κάθετα την ΔΙΑΜΕΤΡΟ Β.


Οπότε η σταθερά για το εμβαδό της έλλειψης ισούται με 0,785 και την ονομάζω ΕΛ...

ΕΛ = Ζ x Z = Z ^ 2 = 0,785 κατά προσέγγιση

και ο τελικός τύπος για την εύρεση του εμβαδού του κύκλου βάσει της σταθεράς ΕΛ...

ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΟΥ = ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ x Z x ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ x Z = ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ^ 2 x Z ^ 2


ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΟΥ = ΕΛ x ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ^ 2


Θεώρημα Β

Θέλησα μετά απο αυτό τον τύπο που ανακάλυψα, να βρώ τη σχέση μεταξύ της περιμέτρου του κύκλου και της πλευράς του τετραγώνου που δημιουργείται απο το εμβαδό του.

Έλυσα λοιπόν της εξής εξίσωση χρησιμοποιώντας τη σταθερά π και τη σταθερά ΖΕΝ
ΖΕΝ=1,12864
π=3,14
Δ=2ρ
Περ=πΔ=3,14Δ

Εμβ=(Δ/ΖΕΝ)^2 εισάγω τη σταθερά π σε αριθμιτή και παρονομαστή για να κάνω πράξεις...
Εμβ=((πΔ/π)/(ΖΕΝ/1))^2
Εμβ=((3,14Δ/3,14)/(1,12864/1))^2
Εμβ=((3,14Δ)/(3,14 x 1,12864))^2
Εμβ=(3,14Δ/3,544)^2 = ( Περίμετρος / 3,544 ) ^ 2

Επομένως

Η δεύτερη σταθερά η οποία δηλώνει τη σχέση μεταξύ της περιμέτρου του κύκλου και της πλευράς του τετραγώνου του εμβαδού ισούται κατά προσέγγιση με 3,544 και την ονομάζω πΖΕΝ

( ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ / πΖΕΝ ) ^ 2 = ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΟΥ

πΖΕΝ = 3,544 κατά προσέγγιση